![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Бесконечность математическая
Nov. 14th, 2012 12:44 pmПовторюсь, если не задумываться, то интуитивно кажется, что в бесконечности все то же самое, но большое. И если что-то справедливо для малых чисел, то и для больших будет то же самое. Кажется неправильно. При приближении к бесконечно большим какие-то вещи начинают работать не так, или вообще перестают работать. Здравый смысл отказывает, потому что мы живем и приспособлены для конечного мира. Мы под него заточены.
Известная задача: чего больше, чисел или их квадратов? Казалось бы — странный вопрос. Но если подумать, то все становится не таким очевидным. Посмотрите сами — обычные целые числа идут подряд одно за другим в одинаковом темпе, если можно так сказать — по 10 штук в десятке, а вот квадраты встречаются все реже. В первой десятке их 3 (1, 4 и 9) потом по одному (16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Как видим — тут по одному квадрату на десятку, да еще некоторые десятки выпадают. Дальше — еще реже. Выходит, раз квадраты встречаются реже, то их и меньше.
Если короче, чисел больше чем квадратов, так как большая их часть квадратами не является.
Есть и другой способ запутаться — его впервые приводит Галиллей в одной из своих работ, я сейчас не буду воспроизводить его рассуждения, хоть они и вполне перевариваемы, но они тоже приводят к противоречию. Поверьте.
Это неверные рассуждения*. Бесконечные множества чисел и их квадратов — эквивалентны (каждому числу соответствует свой квадрат), а соображения встречаемости не имеют значения, их надо игнорировать, потому что дело идет о бесконечностях. Это как раз то понятие, которое бесконечность понуждает нас игнорировать, но это тоже совсем не очевидно.
Эти и другие вопросы разрешил, а еще больше других поставил, Георг Кантор в конце 19 века. Он разработал теорию множеств, самые начала которой вполне съедобны. Кантор не просто ввел понятие бесконечного множества, он так же мудро различил два их вида — счетное и несчетное.
Счетным (но при этом бесконечным) множеством является бесконечное стадо овец. Их можно пересчитать по головам, но процедура эта бесконечна, так как стадо по определению бесконечно большое, Еще более очевидный пример – множество целых положительных чисел — множество счетное, но бесконечное.
Несчетное множество — совсем другое дело. Это, например расстояние между двумя точками — 1 и 2. Между ними всегда найдется середина, а у двух получившихся отрезков будет своя середина, а у получившихся, своя… и так далее. Читатель, несомненно узнает апорию про бесконечность пути — чтобы пройти путь, надо пройти его половину. А у него есть своя половина, и так далее. Парадокс Ахилеса и Черепахи относится сюда же.
Счетные и несчетные множества имеют разную мощность (проще говоря – одно больше другого). Это две бесконечности, но одна страшнее другой. Определяется это простым сопоставлением по элементам. Если каждому элементу одного множества соответствует элемент другого, то эти множества называются эквивалентными, а значит равномощными. Так снимается вопрос чего больше чисел или их квадратов. Эти два множества равномощны. А вот любое счетное множество менее мощно, чем несчетное.
Отсюда идет ряд интересных следствий — если удвоить счетное множество оно останется эквивалентно самому себе. Квадрат (двумерная фигура) составляет такое же множество точек, что и множество точек составляющие его сторону. По поводу этого сам Кантор сокрушался — писал одному из своих друзей математиков, что доказать доказал, но верить в это отказывается.
Надо сказать, что Кантору принадлежит Наивная теория множеств, попытки формализовать которую показали что она неверна. Например, парадокс Бертрана Рассела, одна из фомулировок которого звучит так: «В одной стране вышел указ: «Мэры всех городов должны жить не в своем городе, а в специальном Городе мэров», где должен жить мэр Города мэров?». Есть и более зрелые, но на них я не замахиваюсь.
Вы можете спросить — зачем же ты, Гриша, писал все это? Чтобы потом сказать нам, что построения Кантора неверны? Ты псих? Ответов три: во-первых, да, я не совсем нормален. Во-вторых: мне так хочется. В-третьих: это хотя бы приблизительно демонстрирует, как меняется мир, когда мы начинаем оперировать бесконечными величинами. Все становится другим. Это и было целью.
Следующий пост будет короче и проще. В каком-то смысле.
P.S.
Если кто еще какие примеры знает — добро пожаловать в коменты.
____________________________________
* Согласно уважаемому shuffle81 правильнее написать «Однако эти рассуждения не имеют точного математического смысла, поскольку мы умеем сравнивать лишь конечные величины»
Известная задача: чего больше, чисел или их квадратов? Казалось бы — странный вопрос. Но если подумать, то все становится не таким очевидным. Посмотрите сами — обычные целые числа идут подряд одно за другим в одинаковом темпе, если можно так сказать — по 10 штук в десятке, а вот квадраты встречаются все реже. В первой десятке их 3 (1, 4 и 9) потом по одному (16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Как видим — тут по одному квадрату на десятку, да еще некоторые десятки выпадают. Дальше — еще реже. Выходит, раз квадраты встречаются реже, то их и меньше.
Если короче, чисел больше чем квадратов, так как большая их часть квадратами не является.
Есть и другой способ запутаться — его впервые приводит Галиллей в одной из своих работ, я сейчас не буду воспроизводить его рассуждения, хоть они и вполне перевариваемы, но они тоже приводят к противоречию. Поверьте.
Это неверные рассуждения*. Бесконечные множества чисел и их квадратов — эквивалентны (каждому числу соответствует свой квадрат), а соображения встречаемости не имеют значения, их надо игнорировать, потому что дело идет о бесконечностях. Это как раз то понятие, которое бесконечность понуждает нас игнорировать, но это тоже совсем не очевидно.
Эти и другие вопросы разрешил, а еще больше других поставил, Георг Кантор в конце 19 века. Он разработал теорию множеств, самые начала которой вполне съедобны. Кантор не просто ввел понятие бесконечного множества, он так же мудро различил два их вида — счетное и несчетное.
Счетным (но при этом бесконечным) множеством является бесконечное стадо овец. Их можно пересчитать по головам, но процедура эта бесконечна, так как стадо по определению бесконечно большое, Еще более очевидный пример – множество целых положительных чисел — множество счетное, но бесконечное.
Несчетное множество — совсем другое дело. Это, например расстояние между двумя точками — 1 и 2. Между ними всегда найдется середина, а у двух получившихся отрезков будет своя середина, а у получившихся, своя… и так далее. Читатель, несомненно узнает апорию про бесконечность пути — чтобы пройти путь, надо пройти его половину. А у него есть своя половина, и так далее. Парадокс Ахилеса и Черепахи относится сюда же.
Счетные и несчетные множества имеют разную мощность (проще говоря – одно больше другого). Это две бесконечности, но одна страшнее другой. Определяется это простым сопоставлением по элементам. Если каждому элементу одного множества соответствует элемент другого, то эти множества называются эквивалентными, а значит равномощными. Так снимается вопрос чего больше чисел или их квадратов. Эти два множества равномощны. А вот любое счетное множество менее мощно, чем несчетное.
Отсюда идет ряд интересных следствий — если удвоить счетное множество оно останется эквивалентно самому себе. Квадрат (двумерная фигура) составляет такое же множество точек, что и множество точек составляющие его сторону. По поводу этого сам Кантор сокрушался — писал одному из своих друзей математиков, что доказать доказал, но верить в это отказывается.
Надо сказать, что Кантору принадлежит Наивная теория множеств, попытки формализовать которую показали что она неверна. Например, парадокс Бертрана Рассела, одна из фомулировок которого звучит так: «В одной стране вышел указ: «Мэры всех городов должны жить не в своем городе, а в специальном Городе мэров», где должен жить мэр Города мэров?». Есть и более зрелые, но на них я не замахиваюсь.
Вы можете спросить — зачем же ты, Гриша, писал все это? Чтобы потом сказать нам, что построения Кантора неверны? Ты псих? Ответов три: во-первых, да, я не совсем нормален. Во-вторых: мне так хочется. В-третьих: это хотя бы приблизительно демонстрирует, как меняется мир, когда мы начинаем оперировать бесконечными величинами. Все становится другим. Это и было целью.
Следующий пост будет короче и проще. В каком-то смысле.
P.S.
Если кто еще какие примеры знает — добро пожаловать в коменты.
____________________________________
* Согласно уважаемому shuffle81 правильнее написать «Однако эти рассуждения не имеют точного математического смысла, поскольку мы умеем сравнивать лишь конечные величины»
